考研高等数学：泰勒展开式重点

核心：用多项式在一点附近逼近函数。

---

一、泰勒公式

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有直到 $n+1$ 阶导数，则

$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$$

其中：

• 皮亚诺余项：

$R_n(x)=o((x-x_0)^n)\quad (x\to x_0)$

• 拉格朗日余项：

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

$\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间。

---

二、麦克劳林公式

取 $x_0=0$： $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+R_n(x)$

---

三、常用麦克劳林展开（必背）

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

---

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}+o(x^{2m+1})$

---

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m})$

---

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

---

$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

---

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)$

---

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+o(x^n)$

---

$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m+1}}{2m+1}+o(x^{2m+1})$

---

四、余项怎么选

场景	余项	特点
求极限	皮亚诺余项	定性，写 $$o$$ 即可
证明/估计误差	拉格朗日余项	定量，可放缩
判断极值	泰勒展开到首个非零项	看阶数和符号

---

五、泰勒级数

若 $f$ 在 $x_0$ 处无穷可导，则泰勒级数：

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$

注意：泰勒级数收敛不一定等于 $f(x)$，需要余项趋于 $0$。

常见收敛域：

• $e^x,\sin x,\cos x$：$(-\infty,+\infty)$
• $\ln(1+x)$： $(-1,1]$
• $\frac{1}{1-x}$：$(-1,1)$
• $\arctan x$：$[-1,1]$

---

六、主要应用

1. 求极限：展开到足够阶，抵消低阶项。
2. 近似计算：取前几项，余项估计误差。
3. 证明不等式：泰勒展开 + 余项符号。
4. 判断极值：若 $f'(x_0)=0$，看首个非零高阶导数；偶数阶正为极小，负为极大。
5. 等价无穷小：本质是低阶泰勒展开。

---

七、易错点

• 展开点不一定是 $0$。
• 阶数要够，否则无法抵消或误差阶错误。
• 皮亚诺余项和拉格朗日余项不能混用。
• 泰勒级数有收敛域，不一定收敛到原函数。
• 不要漏写余项 $o$ 或 $R_n$。
• 复合函数可代换展开，但要注意阶数。

---

八、一句话速记

$$\text{泰勒公式}=\text{多项式}+\text{余项}$$

$$\text{求极限用皮亚诺，证明估计用拉格朗日，麦克劳林是 }x_0=0\text{ 的特例。}$$

---

九、小例

求：$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$

由：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$

得：$e^x-1-x=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$

所以：$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac12$