考研高等数学：曲率重点

核心一句话：曲率就是“曲线弯得有多厉害”。
直线不弯，所以曲率为

$$0$$

；圆越小，弯得越急，曲率越大；圆越大，弯得越缓，曲率越小。

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一、曲率的定义

设曲线沿弧长 $s$ 前进，切线与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\alpha$。

曲率定义为：

$$K=\left|\frac{d\alpha}{ds}\right|$$

含义：

单位弧长上的切线方向变化量。

其中：

• $K$：曲率
• $\alpha$：切线方向角
• $s$：弧长

注意：

$$\text{曲率不是}\frac{d\alpha}{dt}$$

而是：

$$\text{曲率是}\frac{d\alpha}{ds}$$

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二、最直观的结论

1. 直线

直线切线方向不变，所以：

$$K=0$$

2. 圆

半径为

$$R$$

的圆：

$$K=\frac{1}{R}$$

所以：

$$R=\frac{1}{K}$$

因此：

$$\text{曲率越大}\Longleftrightarrow\text{弯得越急}$$

$$\text{曲率越小}\Longleftrightarrow\text{弯得越缓}$$

$$\text{曲率大}\Rightarrow\text{曲率半径小}$$

$$\text{曲率小}\Rightarrow\text{曲率半径大}$$

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三、核心公式

1. 直角坐标曲率公式

对曲线：

$$y=f(x)$$

曲率：

$$K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

曲率半径：

$$R=\frac{1}{K} = \frac{(1+y'^2)^{3/2}}{|y''|}$$

这是考研最常用的公式。

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2. 参数方程曲率公式

若曲线为：

$$\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases}$$

则曲率：

$$K= \frac{|x'y''-y'x''|} {(x'^2+y'^2)^{3/2}}$$

其中：

$$x'=\frac{dx}{dt},\qquad y'=\frac{dy}{dt}$$

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3. 极坐标曲率公式

若曲线为：

$$r=r(\theta)$$

则曲率：

$$K= \frac{ |r^2+2(r')^2-rr''| }{ \left(r^2+(r')^2\right)^{3/2} }$$

其中：

$$r'=\frac{dr}{d\theta},\qquad r''=\frac{d^2r}{d\theta^2}$$

考研一般优先掌握直角坐标和参数方程形式。

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4. 弧长微分

直角坐标：

$$ds=\sqrt{1+y'^2}\,dx$$

参数方程：

$$ds=\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$$

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四、公式推导链

不用死背曲率公式，记住推导链：

$$\tan\alpha=y'$$

所以：

$$\alpha=\arctan y'$$

对

$$x$$

求导：

$$\frac{d\alpha}{dx} = \frac{y''}{1+y'^2}$$

又因为：

$$\frac{ds}{dx} = \sqrt{1+y'^2}$$

所以：

$$\frac{d\alpha}{ds} = \frac{d\alpha/dx}{ds/dx} = \frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

取绝对值：

$$K= \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

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五、曲率圆、曲率中心、曲率半径

1. 曲率半径

$$R=\frac{1}{K}$$

含义：

在该点附近，用一个圆去贴合曲线时，这个圆的半径。

2. 曲率圆

曲率圆也叫密切圆。

它满足：

1. 经过该点；
2. 与曲线在该点有相同切线方向；
3. 在该点附近尽可能贴合曲线。

曲率圆方程：

$$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2$$

其中：

• $(x_c,y_c)$：曲率中心
• $R$：曲率半径

3. 曲率中心

曲率中心是曲率圆的圆心。

对于曲线：

$$y=f(x)$$

曲率中心为：

$$\left( x-\frac{y'(1+y'^2)}{y''}, \; y+\frac{1+y'^2}{y''} \right)$$

这里默认：

$$y''\neq0$$

几何上：

$$\text{曲率中心在法线方向上}$$

并且：

$$CP=R$$

其中：

• $C$：曲率中心
• $P$：曲线上的当前点
• $R$：曲率半径

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六、四个概念一次区分

1. 曲率

$$K$$

问：

这里弯得有多厉害？

公式：

$$K=\frac{1}{R}$$

2. 曲率半径

$$R$$

问：

贴合这个点的圆，半径多大？

公式：

$$R=\frac{1}{K}$$

3. 曲率圆

问：

用来贴合曲线的那个圆叫什么？

答案：

$$\text{曲率圆（密切圆）}$$

4. 曲率中心

问：

曲率圆的圆心在哪里？

答案：

$$\text{曲率中心}$$

逻辑链：

$$\text{曲率} \rightarrow \text{曲率半径} \rightarrow \text{曲率中心} \rightarrow \text{曲率圆}$$

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七、曲率与二阶导数的关系

一阶导数：

$$y'$$

表示曲线当前的斜率。

二阶导数：

$$y''$$

表示斜率变化得有多快。

曲率研究的是：

切线方向变化得有多快。

因此曲率和二阶导数密切相关。

但注意：

$$K\neq |y''|$$

正确公式是：

$$K= \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

只有特殊情况下，例如：

$$y'=0$$

才有：

$$K=|y''|$$

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八、曲率与凹凸性

$$y''>0$$

函数图像向上凹。

$$y''<0$$

函数图像向下凹。

但要注意：

$$\text{曲率大小}\neq\text{凹凸方向}$$

曲率大小主要看：

$$K= \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

凹凸方向主要看：

$$y''$$

的正负。

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九、解题模板

如果题目：

求曲线

$$y=f(x)$$

在

$$x=x_0$$

处的曲率。

步骤：

1. 求一阶导数：

$$y'=f'(x)$$

2. 求二阶导数：

$$y''=f''(x)$$

3. 求：

$$y'(x_0),\qquad y''(x_0)$$

4. 代入曲率公式：

$$K= \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

5. 若求曲率半径：

$$R=\frac{1}{K} = \frac{(1+y'^2)^{3/2}}{|y''|}$$

6. 若求曲率圆：

先求曲率中心：

$$\left( x-\frac{y'(1+y'^2)}{y''}, \; y+\frac{1+y'^2}{y''} \right)$$

再写曲率圆方程：

$$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2$$

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十、经典例题

例 1：求

$$y=x^2$$

在

$$x=0$$

处的曲率

$$y'=2x,\qquad y''=2$$

当

$$x=0$$

时：

$$y'(0)=0,\qquad y''(0)=2$$

所以：

$$K= \frac{|2|}{(1+0^2)^{3/2}} = 2$$

即：

$$K=2$$

曲率半径：

$$R=\frac{1}{K}=\frac{1}{2}$$

例 2：求

$$y=x^2$$

在

$$x=1$$

处的曲率

$$y'=2x,\qquad y''=2$$

当

$$x=1$$

时：

$$y'(1)=2,\qquad y''(1)=2$$

所以：

$$K= \frac{2}{(1+4)^{3/2}} = \frac{2}{5\sqrt5}$$

曲率半径：

$$R=\frac{1}{K} = \frac{5\sqrt5}{2}$$

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十一、常见易错点

1. 曲率和曲率半径搞反

一定记住：

$$K=\frac{1}{R}$$

所以：

$$K\uparrow\Rightarrow R\downarrow$$

$$K\downarrow\Rightarrow R\uparrow$$

口诀：

弯得越急，曲率越大，圆越小。

2. 忘记绝对值

普通意义下的曲率：

$$K\ge0$$

公式为：

$$K= \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

不要直接写成：

$$K= \frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

3. 把

$$y''$$

当作曲率

错误：

$$K=y''$$

正确：

$$K= \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

4. 把曲率半径理解成整条曲线的半径

不是。

曲率半径是：

曲线某一个点对应的局部曲率圆的半径。

5. 认为曲率大的地方一定

$$|y''|$$

最大

不一定。

因为：

$$K= \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

还要看：

$$y'$$

6. 曲率和凹凸性混为一谈

曲率大小：

弯得多厉害。

凹凸性：

向哪边弯。

两者不是一回事。

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十二、考研速记卡

定义式

$$K=\left|\frac{d\alpha}{ds}\right|$$

直角坐标曲率

$$K= \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

曲率半径

$$R=\frac{1}{K} = \frac{(1+y'^2)^{3/2}}{|y''|}$$

参数方程曲率

$$K= \frac{|x'y''-y'x''|} {(x'^2+y'^2)^{3/2}}$$

曲率圆

$$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2$$

曲率中心

$$\left( x-\frac{y'(1+y'^2)}{y''}, \; y+\frac{1+y'^2}{y''} \right)$$

直线

$$K=0$$

半径为

$$R$$

的圆

$$K=\frac{1}{R}$$

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十三、一句话终极记忆

曲率就是“曲线弯得有多急”；曲率半径就是“用一个圆来贴合曲线时这个圆有多大”；曲率圆是这个局部最合适的圆；曲率中心是这个圆的圆心。

核心关系：

$$K=\frac{1}{R}$$

$$K= \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$$

$$R= \frac{(1+y'^2)^{3/2}}{|y''|}$$